Question

【题目】如图①，A、B、C、D四点共圆，过点C的切线CE∥BD，与AB的延长线交于点E．

（1）求证：∠BAC=∠CAD；

（2）如图②，若AB为⊙O的直径，AD=6，AB=10，求CE的长；

（3）在（2）的条件下，连接BC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE=；（3）=．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图①，根据切线的性质得OC⊥CE，由于CE∥BD，则OC⊥BD，再根据垂径定理得到=，然后利用圆周角定理可得∠BAC=∠CAD；

（2）如图②，连结OC交BD于E，由（1）得OC⊥BD，则BE=DE，根据圆周角定理得到∠D=90°，则利用勾股定理可计算出BD=8，所以BE=BD=4，在Rt△OBE中计算出OE=3，再证明△OBE∽△OCE，然后利用相似比可计算出CE的长；

（3）先计算出CE=2，由于=，则∠CDB=∠CAB，根据正切定义得到tan∠CBE==，则tan∠CBE=tan∠CAB=，即得到=．

（1）证明：连结OC，如图①，

∵CE为切线，

∴OC⊥CE，

∵CE∥BD，

∴OC⊥BD，

∴=，

∴∠BAC=∠CAD；

（2）解：如图②，连结OC交BD于E，

由（1）得OC⊥BD，则BE=DE，

∵AB为直径，

∴∠D=90°，

∴BD===8，

∴BE=BD=4，

在Rt△OBE中，OE==3，

∵BE∥CE，

∴△OBE∽△OCE，

∴=，即=，

∴CE=；

（3）解：∵OE=3，OC=5，

∴CE=5﹣3=2，

∵=，

∴∠CDB=∠CAB，

∵tan∠CBE===，

∴tan∠CAB=tan∠CBE=，

∵tan∠CAB=，

∴=．