Question

【题目】如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒

（1）请判断△ABC的形状，说明理由.

（2）当t= 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形.

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；

（2）t=1.5或2.7或3；

（3）t=1或t=

【解析】试题分析：（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；

（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；

（3）当P、Q两点之间的距离为时，分三种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧，分别求得t的值并检验即可．

试题解析：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4

∴AC2+BC2= AB2

∴△ABC是直角三角形

（2）如图，当点P在AC上时，CP=CB=3，则t=3÷2=1.5秒；

如图，当点P在AB上时，分两种情况：

若BP=BC=3，则AP=2，

故t=(4+2)÷2=3秒；

若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，则

×AB×MC=×BC×AC，

×5×MC=×3×4，

解得CM=2.4，

∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，

∴AP=1.4，

故t=(4+1.4)÷2=2.7秒.

综上所述，当t=1.5、3或2.7时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形。

故答案为：t=1.5或2.7或3；

（3）①如图,当点P在AC上,点Q在BC上运动时(0t2)，

由勾股定理可得：(2t) +t=5，

解得t=1；

②如图,当点P、Q均在AB上运动,且点P在点Q的左侧时(3t<4)，

由题可得：12－3t=，

解得t=；

③当点P、Q均在AB上运动,且点P在点Q的右侧时(4<t4.5)，

由题可得：2t+t12=，

解得t=，

∵t=>4.5，

∴不成立，舍去．

综上所述,当t为1秒或秒时,P、Q两点之间的距离为.