Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD．
（1）求证：OP=OG；
（2）若设AP为x，试求CG（用含x的代数式表示）；
（3）求AP的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，

∵△ABP沿BP翻折至△EBP，

∴△ABP≌△EBP，

∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，

在△ODP和△OEG中， ，

∴△ODP≌△OEG（ASA），

∴OP=OG；

（2）解：∵△ODP≌△OEG，

∴PD=GE，

∴DG=EP，

设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，

∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x；

（3）解：由勾股定理得：BC2+CG2=BG2，

即62+（8﹣x）2=（x+2）2，

解得：x=4.8，

∴AP=4.8．

【解析】（1）由矩形的性质得出∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折叠的性质得出△ABP≌△EBP，得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG；（2）由全等三角形的性质得出PD=GE，得出DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，得出CG=8﹣x，BG=2+x；（3）由勾股定理得出方程，解方程即可．
【考点精析】通过灵活运用翻折变换（折叠问题），掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等即可以解答此题．