Question

【题目】如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：E（3，1）；F（1，2）．
（2）解：在Rt△EBF中，∠B=90°，

∴EF= ．

设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，

∵顶点F（1，2），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2（a≠0）．

① 如图1，

当EF=PF时，EF2=PF2，

∴12+（n﹣2）2=5．

解得n1=0（舍去）；n2=4．

∴P（0，4）．

∴4=a（0﹣1）2+2．

解得a=2．

∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）2+2

② 如图2，

当EP=FP时，EP2=FP2，

∴（2﹣n）2+1=（1﹣n）2+9．

解得 （舍去）

③当EF=EP时，EP= ，这种情况不存在．

综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x﹣1）2+2．

（3）解：存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．

如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，

连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．

∴E′（3，﹣1），F′（﹣1，2），NF=NF′，ME=ME′．

∴BF′=4，BE′=3．

∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′= ．

又∵ ，

∴FN+MN+ME+EF=5+ ，此时四边形MNFE的周长最小值是 ．

【解析】（1）首先依据翻折的性质可证明四边形ADFB是正方形，故此可得到BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出；
（2）由抛物线的顶点坐标为（1，2），故此可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2，然后分为以下三角形情况进行解答即可：当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，依据轴对称图形的性质可得到NF=NF′，ME=ME′，然后依据两点之间线段最短可得到FN+NM+ME的最小值等于E′F′，故此可得到四边形MNFE的周长的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．