Question

【题目】D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．

（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析．（2）。

【解析】分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．

本题解析:

（1）连CD，如图，

∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，

∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，

∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，

∵DM⊥DN，

∴∠EDF=90°，

∴∠CDE=∠ADF，

在△DCE和△ADF中，

，

∴△DCE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）∵△DCE≌△ADF，

∴S△DCE=S△ADF，

∴四边形DECF的面积=S△ACD，

而AB=2，

∴CD=DA=1，

∴四边形DECF的面积=S△ACD=CDDA=．