Question

【题目】如图，已知Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠A=90°，CE⊥BD，

∴∠A=∠BEC=90°．

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠EBC．

∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，

∴BD=BC．

在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB

（2）解：∵△ABD≌△ECB，

∴AD=BE=3．

∵∠A=90°，∠BAD=30°，

∴BD=2AD=6，

∵BC∥AD，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴∠ABC=90°，

∴∠DBC=60°，

∴弧CD的长为 =2π

【解析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，从而能证明△ABD≌△ECB；（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6，根据平行线的性质求出∠DBC=60°，再代入弧长计算公式求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用弧长计算公式和旋转的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．