Question

【题目】如图，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的直线y=﹣x+b与x轴交于点B．

（1）b的值为______；

（2）若点D的坐标为（0，﹣1），将△BCD沿直线BC对折后，点D落到第一象限的点E处，求证：四边形ABEC是平行四边形；

（3）在直线BC上是否存在点P，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）存在，P1（4，－1），P2（2，1）

【解析】分析：（1）先由点C在直线y=3x+3上，求出点C坐标，代入直线y=-x+b中即可．（2）先求出∠OBC=∠OCB=45°，进而判断出CE∥AB，最后判断出CE=AB 即可；（3）方法①先确定出直线AD，BC解析式，进而判断出AD∥BC，使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，只要AD=PB即可．

本题解析: (1)∵直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴C(0,3)，

∵过点C的直线y=x+b与x轴交于点B，

∴b=3，

故答案为3，

(2)证明：当b=3时，直线BC为y=x+3

由x=0得，y=3，

∴C(0,3)，OC=3

由y=0得，x=3，

∴B(3,0)，OB=3

∴OB=OC=3

∴∠OBC=∠OCB=45°

由折叠得：∠BCE=∠OCB=45°

CE=CD=OC+OD=4

∴∠OBC=∠BCE

∴CE∥AB

由y=3x+3，令y=0得，x=1，

∴A(1,0)

∴AB=OA+OB=3+1=4

∴AB=CE

∴四边形ABEC为平行四边形。

(3)存在点P，使以P、A、 D、 B为顶点的四边形是平行四边形。

如图，

∵A(1,0)、D(0,1)，

∴直线AD解析式为y=x1，

∵B(3,0),C(0,3)，

∴直线BC解析式为y=x+3.

∴AD∥BC，

∵点P在直线BC上，

∴设点P坐标为(m,m+3)，

∴，

∵使得以P、A、D、B为顶点的四边形是平行四边形，

∴PB=AD，

∴，

∵，

∴ .

∴，

∴P(2,1)或P(4,1)，

综上所述,存在点P,使以P、A、D、 B为顶点的四边形是平行四边形。点P的坐标为 (2,1)或 (4,1).