Question

【题目】如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．

（1）求证：AB是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB= ，AB：BC=2：3，求圆的直径．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴∠ACB+∠DBC=90°，

∵∠ABD=∠ACB，

∴∠ABD+∠DBC=90°

∴∠ABC=90°

∴AB⊥BC，

∴AB是圆的切线．

（2）

解：在RT△AEB中，tan∠AEB= ，

∴ = ，即AB= BE= ，

在RT△ABC中， = ，

∴BC= AB=10，

∴圆的直径为10．

【解析】本题考查切线的判定、三角函数等知识，解题的关键是记住经过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线，属于中考常考题型．（1）欲证明AB是圆的切线，只要证明∠ABC=90°即可．（2）在RT△AEB中，根据tan∠AEB= ，求出BC，在在RT△ABC中，根据 = 求出AB即可．