Question

【题目】如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．

（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，

∵OA=OB，DC=DB，

∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，

∵AO⊥OD，

∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，

∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，

∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，

则BD为圆O的切线

（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，

在Rt△OBD中，OB2+BD2=OD2，

即32+x2=（x+1）2，，

解得x=4，

∴线段BD的长是4．

【解析】（1）要证明BD为圆O的切线，连半径OB，需证OB⊥BD。由已知OA=OB，DC=DB，AO⊥OD，可以得出∠ACO=∠DCB=∠DBC，，即可求证结论。
（2）设BD=x，表示出OD的长，在在Rt△OBD中,根据勾股定理，建立方程，求解即可得到BD的长。
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．