Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵F为弦AC（非直径）的中点，

∴AF=CF，

∴OD⊥AC，

∵DE切⊙O于点D，

∴OD⊥DE，

∴AC∥DE

（2）证明：∵AC∥DE，且OA=AE，

∴F为OD的中点，即OF=FD，又∵AF=CF，

∠AFO=∠CFD，

∴△AFO≌△CFD（SAS），

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四边形ACDE=S△ODE

在Rt△ODE中，OD=OA=AE=2，

∴OE=4，

∴DE= =2

∴S四边形ACDE=S△ODE= ×OD×OE= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S△AFO=S△CFD ， 推出S四边形ACDE=S△ODE ， 求出△ODE的面积即可．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．