Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，tanA=．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD是菱形；理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；

（2）由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形AOCD是菱形．

试题解析：（1）连接OD，如图所示：

∵tanA=，

∴∠A=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠ADO=∠AOD=60°，

∵CD∥AB，

∴∠ODC=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等边三角形，

∴∠COD=60°=∠ADO，

∴OC∥AE，

∵CE⊥AE，

∴CE⊥OC，

∴CE是⊙O的切线；

（2）四边形AOCD是菱形；理由如下：

由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，

∴OA=AD=OD=CD=OC，

∴四边形AOCD是菱形．