Question

【题目】（1）问题发现：如图1，如果△ABC和△ADE均为等边三角形（等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°），点B、E、D三点在同一直线上，连接CD．则CD与BE的数量关系为______；∠BDC的度数为______度．

（2）探究：如图2，若△ABC为三边互不相等的三角形，以它的边AB、AC为边分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则CD与BE还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由：并请求出∠BOD的度数？

Answer 1

【答案】（1）相等，60；（2）CD=BE ；∠BOD=60°.

【解析】

（1）由条件△ABC和△ADE均为等边三角形，易证△ABE≌△ACD，从而得到对应边相等，即CD=BE；由△ABE≌△ACD，可得∠BEA=∠CDA，由点B，D，E在同一直线上，可求出∠BEA=120°，从而可以求出∠BDC的度数；

（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而解答即可．

（1）∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，

∴∠BAE=∠CAD．

在△ABE和△ACD中，

∵，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴CD=BE，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠BEA=∠CDA，

∵△AED为等边三角形，

∴∠AED=∠ADE=60°，

∵点B，D，E在同一直线上，

∴∠BEA=120°，

∴∠CDA=120°，

∴∠BDC=∠CDA-∠ADE=60°，

（2）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

，

∴△DAC≌△BAE（SAS）

∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∵∠ABE+∠BFO+∠BOD=∠ADC+∠AFD+∠BAD=180°，

又∠BFO=∠AFD，∠ADC=∠ABE

∴∠BOD=∠BAD=60°．