Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．

（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE=　 　度；

（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE=　 　；（用含x、y的代数式表示）

（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）y﹣x；（3）（2）中的结论成立．

【解析】

（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE-∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE=90°-∠ECF解决问题．

解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=40°，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°

∴∠BAE=60°

∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，

∵CF∥AD，

∴∠CFE=∠DAE=20°；

故答案为：20；

（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），

∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA﹣∠B）=y﹣x．

故答案为： y﹣x；

（3）（2）中的结论成立．

∵∠B=x，∠ACB=y，

∴∠BAC=180°﹣x﹣y，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，

∵CF∥AD，

∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，

∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，

∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，

∵AE⊥BC，

∴∠FEC=90°，

∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．