Question

已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D→A→B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
（1）点D到BC的距离为

 

；
（2）求出t为何值时，QM∥AB；
（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）分别过点A，D作BC边上的高，交BC边于E，F，由于四边形ABCD是等腰梯形，可得出BE=CF=（BC-AD）÷2=1，又由AB=DC=2，根据勾股定理可得点D到BC的距离DF=

22-1

=

3

（2）根据（1）得出的DF的值，可求出BD的长为2

3

，那么三角形BDC是个直角三角形，且∠C=60°，∠DBC=30°，如果QM∥AB，可得出∠PMQ度数也是60°，可先表示出MP的长，然后根据∠PQM的度数表示出PQ，然后根据QP∥DF，得出关于QP，DF，BP，BF的比例关系式，DF的值是定值，可表示出BP，BF，这样就可求出t的值．
（3）要分两种情况进行讨论
①当N在AD上时，关键是求出PQ，可在直角三角形BPQ中，先表示出BP，然后根据∠QBP的度数即可求出PQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．
②N在AB上时，还是要先求出PQ的值，可先表示出BN，然后在直角三角形BNP中，表示出BP，进而在直角三角形BPQ中，用BP表示出PQ，即可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
（4）也要分两种情况进行讨论．
第一种情况，当N在AD上时，①当∠BMQ=90°时，那么M，P重合，于是就有BM+ND+FC=BC，即2t+1=4，即可得出t的值．
②当∠BQM=90°时，可先在直角三角形NDQ中，用ND的长，表示出NQ，然后根据求出的D到BC的距离，即可表示出PQ，这时PQ的第一种表示方法．第二种表示方法是，在直角三角形BMQ中，用BM表示出QM，然后在直角三角形QPM中，表示出PQ，然后可让这两个表示PQ的式子相等，即可得出此时的t的值．
第二种情况，当N在AB上时，此时只有∠BQM=90°，方法同②，也是通过不同的表示PQ的方法来得出t的值，方法同（3）②．

解答：解：（1）

3

（2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
BE=CF=

BC-AD

2

=1．
直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=

1

2

∴∠C=60°，DF=

3

．
∴∠ABE=∠C=60°
∵QM∥AB
∴∠QMP=60°
∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
∴PM=3-2t，BP=3-t．
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=

3

（3-2t）．
∵QP⊥BC，DF⊥BC
∴QP∥DF，
∴△BQP∽△BDF，
∴

BP

BF

=

QP

DF

，即

3-t

3

=

3 (3-2t)

3

∴5t=6，即t=1.2（s）
当t=1.2s时，QM∥AB

（3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=

3

，
∴BD=2

3

三角形BCD中，CD=2，BD=2

3

，BC=4，
因此BD²+CD²=BC²，
即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．
直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
∴PQ=

3

3

（3-t）
因此：S=

1

2

×t×

3

3

（3-t）=-

3

6

t²+

3

2

t
当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
∴BP=

4-t

2

．
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=

4-t

2

，
∴QP=

3 (4-t)

6

因此：S=

1

2

×t×

3 (4-t)

6

=-

3

12

t²+

3

3

t

（4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论：
①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得：t=1.5s．
②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
∴NQ=

3

3

t．
∵NP=

3

∴QP=

3

-

3

3

t
在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
∴QM=

1

2

t
在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=

1

2

t
∴QP=

3

4

t
∴

3

-

3

3

t=

3

4

t．
解得t=

12

7

s．
当2＜t＜4时，∠BQM=90°
直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
∴BP=

4-t

2

，
∴PM=BM-BP=t-

4-t

2

=

3t-4

2

在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=

4-t

2

∴PQ=

3 (4-t)

6

直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=

3t-4

2

∴PQ=

3 (3t-4)

2

因此

3 (4-t)

6

=

3 (3t-4)

2

，
解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符，
因此这种情况不成立．
综上所述，当t=1.5s或

12

7

s，△BMQ是直角三角形．

点评：本题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形的性质等知识点，要注意的是（3）（4）都要分情况讨论，不要漏解．