Question

【题目】正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．

(1)建立适当的平面直角坐标系．

①直接写出O，P，A三点坐标；

②求抛物线L的表达式；

(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

Answer 1

【答案】(1)建立平面直角坐标系见解析，①点O的坐标为(0，0)，点A的坐标为(4，0)，点P的坐标为(2，2)；②抛物线L的表达式为y＝－ x2＋2x；(2)△OAE与△OCE面积之和最大值为9.

【解析】试题分析：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．

试题解析：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．

①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，

∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．

②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线L经过O、P、A三点，

∴有， 解得：， ∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．

（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点， ∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），

∴S△OAE+SOCE=OAyE+OCxE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，

∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．