【题目】操作：和都是等边三角形，绕着点按顺时针方向旋转，是、的中点，有以下三种图形.

探究：

（1）在上述三个图形中，是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；

（2）的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；

（3）与有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.

【答案】（1）是一个固定的值，，证明见解析；（2）的值是等于这个定值,证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得AO⊥BC，BO=BC=AB，根据勾股定理计算即可求得AO= BO，即AO∶BO是一个固定的值 ∶1；

（2）由等边三角形的性质可得AO⊥BC， ，由同角的余角相等可得，由（1）可得，可得，根据相似三角形的性质可得；

（3）在图（3）中，由（2）得，根据相似三角形的性质可得∠1=∠2，根据对顶角相等得∠3=∠4，则∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°，即.

（1）解：∵是等边三角形，由图（1）得AO⊥BC，

∴，∴；

（2）证明：，

，

∴

∴

∴

（3）证明：在图（3）中，由（2）得

∴，

∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠AEF =∠AOB

∵∠AOB=90°，

∴

∴.

故答案为：（1）是一个固定的值，，证明见解析；（2）的值是等于这个定值,证明见解析；（3）证明见解析．

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