Question

【题目】如图，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点 ，作射线OA、OP、OA’，当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A’OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB

（1）如图，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OB平分∠A’OP，求∠AOP的度数；

（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠A’OB时，求的值；

（3）当点O运动到某一时刻时，∠A’OB=150°，直接写出∠BOP= 度.

Answer 1

【答案】(1) ∠AOP=40°；(2) 或6； (3) 105或135.

【解析】试题分析：

（1）由题意易得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP=2∠POB，由此可得∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，这样解得∠POB=20°，即可得到∠AOP=40°；

（2）①当射线OB在∠A′OP的内部时，如图1，设∠A′OB= ，则∠AOM=，∠AON=，∠AOA′= ，由此可得∠AOP=∠A′OP=，由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得，解得，由此即可求得∠AON和∠AOP，从而可求得它们的比值；

②当射线OB在∠AON的内部时，如图2，设∠A′OB= ，则∠AOM=，∠AON=，∠AOA′= ，由此可得∠AOP=∠A′OP=，由∠AOM+∠AOP=∠MOP=90°可得，解得，由此即可求得∠AON和∠AOP，从而可求得它们的比值；

（3）如图3，当∠A′OB=150°时，易得∠A′OA=150°-60°=90°，结合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=45°，从而可得∠BOP=60°+45°=105°；如图4，当∠A′OB=150°时，易得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，结合∠AOP=∠A′OP可得∠AOP=75°，从而可得∠BOP=60°+75°=135°；

试题解析：

（1）由题意可得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP，

∵OB平分∠A′OP，

∴∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB，

∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°，

∴∠POB=20°，

∴∠AOP=2∠POB=40°；

(2)①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，如图1，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3∠A′OB=3x，∠AOA′= ，

∵OP⊥MN，

∴∠AON=180°-3，∠AOP=90°-3x，

∴，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=

∴，解得： ，

∴；

②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，如图2，

设∠A′OB=x，则∠AOM=3x，∠AON=，∠AOA′= ，

∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=∠A′OP=，

∵OP⊥MN，

∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x，

∴，解得： ，

∴ ；

（3）①如图3，当∠A′OB=150°时，

由图可得：∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°，

又∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=45°，

∴∠BOP=60°+45°=105°；

②如图4，当∠A′OB=150°时，由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°，

又∵∠AOP=∠A′OP，

∴∠AOP=75°，

∴∠BOP=60°+75°=135°；

综上所述：∠BOP的度数为105°或135°.