Question

【题目】如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE．

（1）求证：BE=CE；

（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，EB平分∠ABC，求图中阴影部分（扇形）的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）π

【解析】

试题分析：（1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；

（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ED=BD=，然后根据扇形的面积公式求解．

（1）证明：∵点D是线段BC的中点，

∴BD=CD，

∵AB=AC=BC，

∴△ABC为等边三角形，

∴AD为BC的垂直平分线，

∴BE=CE；

（2）解：∵EB=EC，

∴∠EBC=∠ECB=30°，

∴∠BEC=120°，

在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，

∴ED=BD=，∠FEG=120°，

∴阴影部分（扇形）的面积==π．