Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根

（1）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；

（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、垂直；理由见解析；(2)、（﹣2，1）；(3)、（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）.

【解析】

试题分析：(1)、根据点A、B、C的坐标得出OA、OB和OC的长度，根据线段的比值以及∠AOC=∠BOA=90°得出△AOC和△BOA相似，然后得出∠BAC=90°，即垂直；(2)、首先根据待定系数法求出直线AC的解析式，根据中垂线的性质得出点D的纵坐标，然后求出横坐标；(3)、根据等腰三角形的性质进行分类讨论，求出点P的坐标.

试题解析：(1)、∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1）， ∴OA=，OB=3，OC=1， ∴OA2=OBOC，

∵∠AOC=∠BOA=90°， ∴△AOC∽△BOA， ∴∠CAO=∠ABO， ∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°， ∴AC⊥AB；

(2)、设直线AC的解析式为y=kx+b， 把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC， ∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∴D的纵坐标为1， ∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2， ∴D的坐标为（﹣2，1），

（3）点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．