Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（5，0），菱形OABC的顶点B，C都在第一象限，tan∠AOC= ，将菱形绕点A按顺时针方向旋转角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（点O的对应点为点F），EF与OC交于点G，连结AG．

（1）求点B的坐标．
（2）当OG=4时，求AG的长．
（3）求证：GA平分∠OGE．
（4）连结BD并延长交x轴于点P，当点P的坐标为（12，0）时，求点G的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，

∵四边形OABC为菱形，

∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA．

∵tan∠AOC= ，

∴tan∠BAH= ．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH= AB=4，AH= AB=3，

∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴点B的坐标为（8，4）

（2）

解：如图1，

过点A作AM⊥OC于点M，

在直角△AOM中，∵tan∠AOC= ，OA=5，

∴AM= OA=4，OM= OA=3，

∵OG=4，

∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1，

∴AG= = =

（3）

证明：如图1，

过点A作AN⊥EF于点N，

∵在△AOM与△AFN中， ，

∴△AOM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE

（4）

解：如图2，

过点G作GQ⊥x轴于点Q，

由旋转可知：∠OAF=∠BAD=α．

∵AB=AD，

∴∠ABP= ，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，

∴∠OGA=∠EGA= ，

∴∠OGA=ABP，

又∵∠GOA=∠BAP，

∴△GOA∽△BAP，

∴ ，

∴GQ= ×4= ．

∵tan∠AOC= ，

∴OQ= × = ，

∴G（ ， ）．

【解析】（1）如图1，过点B作BH⊥x轴于点H，构建直角△ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到AH、BH的长度，则易求点B的坐标；（2）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建直角△OAM和直角△AMG，通过解直角△OAM求得直角边AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求AG的长度；（3）如图1，过点A作AM⊥OC于点M，构建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用该全等三角形的对应边相等得到AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论；（4）如图2，过点G作GQ⊥x轴于点Q，构建相似三角形：△GOA∽△BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得GQ的长度．结合已知条件tan∠AOC= ，来求边OQ的长度，即可得到点G的坐标．本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形以及勾股定理等知识点，解答该题的难点在于作出辅助线，构建相关的图形的性质．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．