Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧 的长l．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接OD，DC，

∵∠DAC= DOC，∠OAC= BOC，

∴∠DAC=∠OAC，

∵ED=1，DC=2，

∴sin∠ECD= ，

∴∠ECD=30°，

∴∠OCD=60°，

∵OC=OD，

∴△DOC是等边三角形，

∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，

∴l= = π．

【解析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．
【考点精析】关于本题考查的弧长计算公式，需要了解若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的才能得出正确答案．