Question

【题目】某牛奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米、已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，公司提出两种建站方案：

方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离最小；

方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和，

（1）若按第一种方案建站，取奶站应建在什么位置？

（2）若按方案二建站，取奶站应建在什么位置？

（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加，增加的人数不超过22人，那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 按方案一建奶站，取奶站应建在B处；(2) 按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．(3) 当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．

【解析】试题分析：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米，求出在各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A楼x米处，列出等量关系式，解得x．

（3）设A楼取奶人数增加a人，在各个自变量下，解得x与a的关系．

试题解析：解：（1）设取奶站建在距A楼x米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y米．

①当0≤x≤40时，y=20x+70（40﹣x）+60（100﹣x）=﹣110x+8800

∴当x=40时，y的最小值为4400，

②当40＜x≤100，y=20x+70（x﹣40）+60（100﹣x）=30x+3200

此时，y的值大于4400

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B处；

（2）设取奶站建在距A楼x米处，

①0≤x≤40时，20x+60（100﹣x）=70（40﹣x）

解得x=﹣＜0（舍去）

②当40＜x≤100时，20x+60（100﹣x）=70（x﹣40）

解得：x=80

因此按方案二建奶站，取奶站建在距A楼80米处．

（3）设A楼取奶人数增加a人

①当0≤x≤40时，（20+a）x+60（100﹣x）=70（40﹣x）

解得x=﹣（舍去）．

②当40＜x≤100时，（20+a）x+60（100﹣x）=70（x﹣40），

解得x=．

∴当a增大时，x增大．

∴当A楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站建在B、C两楼之间，且随着人数的增加，离B楼越来越远．