Question

【题目】如图所示，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，

（1）求cos∠CAO的值；

（2）求直线AC的函数关系式；

（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，求P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）cos∠CAO=；（2）直线AC的解析式为：y=﹣3x+3；（3）点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线y=x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO的值；

（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；

（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OPA存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y=x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，

∴x2﹣4x+3=0，得x=1或x=3，x=0时，y=3，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴OA=1，OC=3，

∴，

∴cos∠CAO=；

（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），

∴

解得k=﹣3，b=3．

即直线AC的解析式为：y=﹣3x+3；

（3）如果有动点P是y轴上，且△OPA与△OAC相似，

则有如下三种情况，

第一种情况如下图1所示，

当∠OPA=∠OCA，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，

∴，

∵点C的坐标为（0，3），

∴OP=OC=3，

∴点P的坐标为（0，﹣3）；

第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，

当∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，

∴，

∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即点P的坐标为（0，）；

第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，

当∠OPA=∠OAC，∠AOC=∠AOP时，△OPA∽△OAC，

∴，

∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），

∴OA=1，OC=3，

∴，

即点P的坐标为（0，﹣）．

由上可得，点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．