Question

【题目】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（ ）

A．△BPQ是等边三角形

B．△PCQ是直角三角形

C．∠APB=150°

D．∠APC=135°

Answer 1

【答案】D

【解析】

试题分析：根据等边三角形性质得出∠ABC=60°，根据全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判断C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D．

∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPQ是等边三角形， ∴PQ=BP=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等边三角形， ∴∠BOQ=∠BQP=60°，

∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC，

∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°， ∴选项A、B、C正确，选项D错误．