Question

【题目】如图，已知：在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线l经过点B，且直线l绕着点B旋转，AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，连接OM，ON

（1）当直线l经过点D时，如图1，则OM、ON的数量关系为 ；

（2）当直线l与线段CD交于点F时，如图2（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）当直线l与线段DC的延长线交于点P时，请在图3中作出符合条件的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立？不必说明理由．

Answer 1

【答案】（1）OM=ON；（2）结论仍然成立．（3）结论仍然成立．

【解析】

试题分析：（1）OM=ON；易证△AOM≌△CON，所以OM=ON；

（2）结论仍然成立．如答图2，作辅助线，证明△AEO≌△CNO，得点O为Rt△MEN斜边上的中点，所以OM=ON结论成立；

（3）结论仍然成立．与（2）同理．

试题解析：（1）OM=ON；如题图1，

∵O为AC的中点，

∴OA=OB，

∵AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，

∴∠AMO=∠CNO=90°，

在△AMO和△CNO中，

，

∴△AMO≌△CNO（AAS）

∴OM=ON；

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如答图2，延长NO，交AM于点E，

∵AM⊥l于点M，CN⊥l于点N，

∴AM∥CN，

∴∠OAE=∠OCN．

∵矩形ABCD，点O为对角线AC中点，

∴OA=OC．

在△AEO和△CNO中，

∴△AEO≌△CNO（ASA）

∴OE=ON，

∵Rt△MEN，点O为EN的中点

∴OM=ON（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．

（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如答图3，延长NO，交MA的延长线于点E．

与（2）同理，可以证明OM=ON．