Question

【题目】已知：如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作经过点A的直线L的垂线段BD、CE，垂足分别D、E．
（1）求证：DE=BD+CE．
（2）如果过点A的直线经过∠BAC的内部，那么上述结论还成立吗？请给出你的结论，并画出图形予以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+AE=DE，

∴BD+CE=DE；

（2）解：上述结论不成立．

如图所示，BD=DE+CE．

证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+DE=AE，

∴BD=DE+CE．

如图所示，CE=DE+BD，

证明：证明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE+DE=AD，

∴CE=DE+BD．

【解析】（1）由垂线的定义和角的互余关系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出结论；（2）由垂线的定义和角的互余关系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS证明△ABD≌△CAE，得出对应边相等BD=AE，AD=CE，由AE、DE、AD之间的和差关系，即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)．