Question

【题目】如图．点A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于点E，过点O作OF⊥BC于F，求证：

（1）△AEB∽△OFC；

（2）AD=2FO．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接OB，利用三线合一和圆周角定理得出∠BAE=∠COF，根据条件可得∠OFC=∠AEB=90°，然后即可得出结论；（2）利用（1）中△AEB∽△OFC得出，根据条件证明△ADE∽△BCE得出，进而得出，然后利用垂经定理即可证出结论．

试题解析：（1）如图，连接OB，

则∠BAE=∠BOC，

∵OF⊥BC，

∴∠COF=∠BOC，

∴∠BAE=∠COF，

又∵AC⊥BD，OF⊥BC，

∴∠OFC=∠AEB=90°

∴△AEB∽△OFC，

（2）∵△AEB∽△OFC，

∴

即

由圆周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，

∴△ADE∽△BCE。

∴

∴

∵OF⊥BC

∴BC=2CF

∴AD =2FO