Question

【题目】阅读下面材料：
数学课上，老师让同学们解答课本中的习题：如图1，在四边形ABCD中，E、F、
G、H分别是各边的中点，猜想四边形EFGH的形状并证明自己的猜想．
小丽在思考问题时，有如下思路：连接AC

结合小丽的思路作答：
（1）若只改变图1中的四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由

参考小丽思考问题方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC、BD
①当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形．写出结论并证明．
②当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是正方形．直接写出结论

Answer 1

【答案】
（1）解：结论：四边形EFGH还是平行四边形．

理由：如图2，连接AC．

∵E、F分别是AB、CB中点

∴EF∥AC，EF= AC，

同理：GH∥AC，GH= AC，

∴EF∥GH，EF=GH，

∴四边形EFGH是平行四边形

（2）解：①结论：当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．

理由：如图3中，由（1）四边形EFGH是平行四边形

∵E、F是AB、CB中点

∴EF= AC

同理：EH= BD

∵AC=BD

∴EF=EH

∴平行四边形EFGH是菱形．

②结论：当AC⊥BD且AC=BD时，四边形EFGH是正方形．

理由：由①可知，AC=BD，四边形EFGH是菱形，

∵AC⊥BD，AC∥HG，

∴HG⊥BD，

∵EH∥BD，

∴EH⊥HG，

∴∴∠EHG=90°，

∴四边形EFGH是正方形

【解析】（1）结论：四边形EFGH还是平行四边形．只要证明EF=GH，EF∥GH即可；（2）①利用（1）的结论，只要证明EF=EH即可；②在①基础上，只要证明∠EHG=90°即可；
【考点精析】掌握平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．