Question

【题目】(2016·西宁中考)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6， ，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】试题分析：（1）连OD，由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠ADO＋∠ODB=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠ODB，于是∠CDA＋∠ADO=90°，根据切线的判定即可得证；

（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线长定理得到BE=DE，BE⊥BC，在Rt△CBE中根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连接OD．

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠BDO．

∵∠CDA＝∠CBD，

∴∠CDA＝∠ODB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＋∠ODB＝90°，

∴∠ADO＋∠CDA＝90°，

即∠CDO＝90°，

∴OD⊥CD．

∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，

∴△CDA∽△CBD，

∴＝．

∵＝，BC＝6，

∴CD＝4．

∵CE，BE是⊙O的切线，

∴BE＝DE，BE⊥BC，

∴BE2＋BC2＝EC2，

即BE2＋62＝(4＋BE)2，

解得BE＝．