Question

【题目】（11分）已知△ABC，分别以AB、BC、CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形BCE、等边三角形ACF．

（1）如图1，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件，四个成立的结论；

（2）如图2，当△ABC中只有∠ACB＝60°时，请你证明S△ABC与S△ABD的和等于S△BCE与S△ACF的和．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，如：DE＝EF，DF＝EF，∠D＝∠E＝∠F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可写出结论．

（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．

试题解析：(1)DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分别为DF、DE、EF的中点；

(2)过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，

∵∠ACB=60°,∠CAF=60°，

∴∠ACB=∠CAF，

∴AF∥MC，

∴四边形AMCF是平行四边形，

又∵FA=FC，

∴四边形AMCF是菱形，

∴AC=CM=AM,且∠MAC=60，

∵在△BAC与△EMC中，

CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，

∴△BAC≌△EMC，

∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM，

∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM，

∴∠BAC=∠DAM

在△ABC和△ADM中

AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM，

∴△ABC≌△ADM(SAS)

故△ABC≌△MEC≌△ADM，

在CB上截取CM，使CM=CA，

再连接AM、DM、EM

易证△AMC为等边三角形，

在△ABC与△MEC中，

CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，

∴△ABC≌△MEC(SAS)，

∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，

又∵DB=AB，

∴DB=ME，

∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，

∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，

∴∠DBC=∠BME，

∴DB∥ME，

即DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，

∴四边形DBEM是平行四边形，

∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，

即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF.