Question

【题目】如图，半圆O直径DE=12，Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=90°，∠ABC=30°．半圆O从左到右运动，在运动过程中，点D，E始终在直线BC上，半圆O在△ABC的左侧．

（1）当△ABC的一边与半圆O相切时，请画出符合题意得图形．

（2）当△ABC的一边与半圆O相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）9π或9+6π．

【解析】

试题分析：（1）因为点D，E始终在直线BC，所以当△ABC的一边与半圆O相切时只有三种情况，再分别画出即可；

（2）本题要分当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有图2与图3所示的两种情形分别计算即可．

解：（1）如图所示：

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有图2与图3所示的两种情形．

①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM=π×62=9π（cm2）

②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H．

则PH=BH．在Rt△OBH中，∠OBH=30°，OB=6cm

则OH=3cm，BH=3cm，BP=6cm，S△POB=×6×3=9（cm2）

又因为∠DOP=2∠DBP=60°

所以S扇形DOP=6π（cm2）

所求重叠部分面积为：S△POB+S扇形DOP=9+6π（cm2），

综上可知当半圆O与直径DE围成的区域与△ABC的三边围成的区域有重叠部分则重叠部分的面积是9π或9+6π．