Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E．

（1）求证：PB＝PE；

（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2．若正方形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）如图1，连接PD，可根据正方形的性质和全等三角形的判定可证△BCP≌△DCP，然后由全等三角形的性质得到PD=PB，然后可根据垂直证得∠PDC＝∠PDE，从而得证；

（2）根据图形的变化，可知结论不发生变化，然后由（1）的结论，根据勾股定理可求解.

试题解析：（1）如图1，连接PD．∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA，∠BCD＝90°．

又∵PC＝PC，

∴△BCP≌△DCP．

∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．

∵PB⊥PE，

∴∠BPE＝90°．

∴在四边形BCEP中，∠PBC＋∠PEC＝360°－∠BPE－∠BCE＝180°．

又∵∠PED＋∠PEC＝180°，

∴∠PBC＝∠PED．

∴∠PDC＝∠PDE．

∴PD＝PE．

∴PB＝PE．

（2）的长度不发生变化，PF＝．

（提示：连接OB，证明△PEF≌△BPO．说明：答案写成、等没有化简的形式均不扣分）