Question

【题目】如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
（2）求证：BE=CF．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵AC与BD是圆的直径，

∴∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：证明：∵BO=CO，

又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，

∴∠BEO=∠CFO=90°．

在△BOE和△COF中， ，

∴△BOE≌△COF（AAS）．

∴BE=CF．

【解析】（1）由圆周角定理得出∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD=90°，即可得出四边形ABCD是矩形；（2）由AAS证明△BOE≌△COF，得出对应边相等即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的判定方法和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．