Question

【题目】（如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO，已知BD=2 ．
（1）求正方形ABCD的边长；
（2）求OE的长；
（3）①求证：CN=AF；②直接写出四边形AFBO的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=CD=BC，∠BCD=∠ABC=90°，

∴2BC2=BD2，

∵BD=2 ，

∴AB=BC=2，

∴正方形ABCD的边长为2

（2）解：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，

∴∠AEC=∠CEF=90°，E为AF的中点，

∵正方形ABCD，

∴O为AC的中点，AC=BD=2 ，

∴OE= CF= BD=

（3）①证明：∠ABF=∠CBN=∠CEF=90°，AB=BC，

∴∠ECB+∠F=∠FAB+∠F=90°，

∴∠ECB=∠FAB，

在△NCB与△FAB中，

，

∴△NCB≌△FAB，

∴CN=AF．

②四边形AFBO的面积=△CBN的面积+△ABO的面积=

【解析】（1）利用正方形的性质和勾股定理计算即可；（2）利用正方形的性质解答即可；（3）判断出∠OEC=∠OCE，再判断出∠NBC=∠COM=90°，进而得出△CBN∽△COM，即可得出结论．