Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：

（1）∠PBC=∠CBD；
（2）BC2=ABBD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵PC与圆O相切，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵BD⊥PD，

∴∠BDP=90°，

∴∠OCP=∠PDB，

∴OC∥BD，

∴∠BCO=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠PBC=∠BCO，

∴∠PBC=∠CBD；

（2）证明：连接AC，

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴

则BC2=ABBD．

【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行，进而得到一对内错角相等，再由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．