【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2 ， 当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

参考答案：

【答案】
（1）

解：令x=0代入y=﹣3x+3，

∴y=3，

∴B（0，3），

把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，

∴3=a+4，

∴a=﹣1，

∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3


（2）

解：令y=0代入y=﹣x2+2x+3，

∴0=﹣x2+2x+3，

∴x=﹣1或3，

∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，

∵M在抛物线上，且在第一象限内，

∴0＜m＜3，

令y=0代入y=﹣3x+3，

∴x=1，

∴A的坐标为（1，0），

由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），

S=S四边形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB

= ×m×3+ ×1×（﹣m2+2m+3）﹣ ×1×3

=﹣ （m﹣ ）2+

∴当m= 时，S取得最大值


（3）

解：①由（2）可知：M′的坐标为（ ， ）；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2=BF，

此时只要求出BF的最大值即可，

∵∠BFM′=90°，

∴点F在以BM′为直径的圆上，

设直线AM′与该圆相交于点H，

∵点C在线段BM′上，

∴F在优弧 上，

∴当F与M′重合时，

BF可取得最大值，

此时BM′⊥l1，

∵A（1，0），B（0，3），M′（ ， ），

∴由勾股定理可求得：AB= ，M′B= ，M′A= ，

过点M′作M′G⊥AB于点G，

设BG=x，

∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，

∴ ﹣（ ﹣x）2= ﹣x2，

∴x= ，

cos∠M′BG= = ，

∵l1∥l′，

∴∠BCA=90°，

∠BAC=45°

方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M点作ME垂直于l′于E点，则BD=d1，ME=d2，

∵S△ABM= ×AC×（d1+d2）

当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM时取得最小值．

根据B（0，3）和M′（ ， ）可得BM′= ，

∵S△ABM= ×AC×BM′= ，∴AC= ，

当AC⊥BM′时，cos∠BAC= = = ，

∴∠BAC=45°．


【解析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；（3）①由（2）可知m= ，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．

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