Question

【题目】已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： 或者 ．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．

Answer 1

【答案】（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC

（2）EF是⊙O的切线

【解析】

试题分析：（1）添加条件EF⊥AB，根据切线的判定推出即可；添加条件∠EAC=∠B，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；

（2）作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．

试题解析：（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，

理由是：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB， ∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；

②∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，

∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，即AE⊥AB，

∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；

（2）EF是⊙O的切线．

作直径AM，连接CM，则∠ACM=90°，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°，

∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90°，∴AE⊥AM，

∵AM为直径，∴EF是⊙O的切线．