Question

【题目】如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.

(1)求sin∠EAC的值；

(2)求线段AH的长．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）

【解析】试题分析：

（1）如图，过点E作EM⊥AC于点M，则∠EMA=∠EMC=90°，△EMC为等腰直角三角形，在Rt△ADE中易得AE=，在Rt△EMC中易得EM=，∴sin∠EAM=；

（2）由已知易证△ADE≌△CDG，从而可得GC=AE=，∠DAE=∠DCG，由此可证得AH⊥CG，最后利用S△AGC= 可解得AH的长.

试题解析：

(1)作EM⊥AC于M.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°.

在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，

∴AE＝.

在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，

∴EM＝CM＝.

∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝；

(2)在△GDC和△EDA中， ，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝.

又∵∠AED＝∠CEH，

∴∠EHC＝∠EDA＝90°，

∴AH⊥GC.

∵S△AGC＝AG·DC＝GC·AH，

∴×4×3＝ ×AH，

∴AH＝.