Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣ x+1与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3，

∴c=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴OC=3，

∵BO=OC=3AO，

∴BO=3，AO=1，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

∵该抛物线与x轴交于A、B两点，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

证明：由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴BC=3 ，BE=2 ，CE= ，

∵直线y=﹣ x+1与y轴交于点D，

∴D（0，1），

∵B（3，0），

∴OD=1，OB=3，BD= ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴△BCE∽△BDO

（3）

解：存在，

理由：设P（1，m），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BC=3 ，PB= ，PC= ，

∵△PBC是等腰三角形，

①当PB=PC时，

∴ = ，

∴m=﹣1，

∴P（1，﹣1），

②当PB=BC时，

∴3 = ，

∴m=± ，

∴P（1， ）或P（1，﹣ ），

③当PC=BC时，

∴3 = ，

∴m=﹣3± ，

∴P（1，﹣3+ ）或P（1，﹣3﹣ ），

∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1， ）或P（1，﹣ ）或P（1，﹣3+ ）或P（1，﹣3﹣ ）

【解析】（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC=3 ，BE=2 ，CE= ，OD=1，OB=3，BD= ，求出比值，得到 得出结论；（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点是分类．