Question

【题目】如图，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OP=4，∠OPA=30°．求OC和AB的长．

Answer 1

【答案】解：∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP=90°．
∵在Rt△OAP中，∠OPA=30°，
∴∠AOP=60°．
∵AB⊥OP，
∴∠OAC=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【解析】利用切线的性质和垂径定理推知△OAP和△OCA为直角三角形．利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得OA、OC的长度；然后在直角△OAC中，利用勾股定理可以求得AC的长度，则AB=2AC．
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．