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【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是
，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标 | … |
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| … |
P的坐标 | … |
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| … |
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．
验证：
（4）设点P的坐标是
，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点
，
，求点D的纵坐标
的取值范围．
【答案】（1）
，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）
；（5）
【解析】
（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；
（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；
（3）用平滑的曲线作出图象，即可；
（4）过点P作
轴于点E，用含x，y的代数式表示
，
，
，结合勾股定理，即可得到答案；
（5）连接
，由题意得当
时，在
的外接圆上，弧
所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设
，求出b的值，进而即可求解．
解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
（2）
M的坐标 | … |
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| … |
P的坐标 | … |
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| … |
（3）草图见图2：形状：抛物线
（4）如图1，过点P作轴于点E，
，
，
在
中，
即
化简，得
∴y关于x的函数解析式为．
（5）连接，易得
，又
∴
为等边三角形，∴
当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°
其圆心在的垂直平分线y轴上，
∴的外接圆圆心为坐标原点O，
设，则
，即
①
又点D在该抛物线上
∴
②
由①②联立解得：
（舍去）
数形结合可得，
当
时，点D的纵坐标
的取值范围为
