Question

【题目】阅读理解
材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC
∵E、F是AB、CD的中点
∴EF∥AD∥BC
EF=（AD+BC）
材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
如图（2）：在△ABC中：
∵E是AB的中点，EF∥BC
∴F是AC的中点
如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°

请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题．
（1）求证：EF=AC；
（2）若OD=，OC=5，求MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∴AC=OA+OC=（AD+BC），

∵EF=（AD+BC），

∴AC=EF；

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠DBC=30°，

∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，

∵OD=，OC=5，

∴OA=3，

∵AD∥EF，

∴∠ADO=∠OMN=30°，

∴ON=MN，

∵AN=AC=（OA+OC）=4，

∴ON=AN﹣OA=4﹣3=1，

∴MN=2ON=2．

【解析】（1）由直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可证明；
（2）直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出OA=3，利用平行线得出ON=MN，再根据AN=AC=4，得出ON=4﹣3=1，进而得出MN的值．
【考点精析】本题主要考查了含30度角的直角三角形和梯形的中位线的相关知识点，需要掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半才能正确解答此题．