Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴相交于A、B两点，二次函数的图像经过点A．

（1）试证明二次函数的图像与x轴有两个交点；

（2）若二次函数图像的顶点D在直线AB上，求m，n的值；

（3）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为点C，顶点D关于x轴的对称点设为点E，以AE，AC为邻边作平行四边形EACF，顶点F能否在该二次函数的图像上？如果在，求出这个二次函数的表达式；如果不在，请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）4，3；6，9（3）P（-1，）

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，然后根据根的判别式可证明；

（2）根据二次函数的顶点坐标可求的m，n的值；

（3）根据B点的坐标求得m的值，即可得二次函数的解析式，然后设E点的横坐标为t，求得E点的坐标，再求得直线AE，由此求得P点的坐标.

试题解析：（1）A（﹣3，0），B（0，﹣3），

二次函数的图像经过点C（-6，18-n），则n=3m﹣9，

即.

∵==，

又，

∴，

则二次函数的图像与x轴有两个交点；

（2）二次函数，即

顶点坐标为（，），

因为二次函数图像的顶点在直线AB上，

所以，解得：，，

则，；

（3）抛物线过点B（0，-3），

则m=2

此时函数关系式为，易证点A在抛物线上.

设点E的横坐标为t，则（-3+1）（t +1）=

∴， 求得点E的坐标为（，），

则直线AE对应的函数关系式:，

求得点P（-1，）.