Question

【题目】如图Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB=4，AD=3.如图Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从B点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边BC经过点C向点D运动，当点Q到达点D时，矩形ABCD和点Q同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒.

（1）在图Ⅰ中，点C的坐标(____),在图Ⅱ中，当t=2时，点A坐标(______),Q坐标(______)

（2）当点Q在线段BC或线段CD上运动时，求出△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围;

（3）点Q在线段BC或线段CD上运动时，作QM⊥x轴，垂足为点M，当△QMO与△ACD相似时，求出相应的t值.

Answer 1

【答案】(1)C(4,-3)； A()， Q()；

（2）①当Q在BC上，即0≤t≤3时，S=6-2t，②当Q在CD上，即3<t≤7时，S=；

（3）当t=3时，△QMO与△ACD相似.

【解析】试题分析：（1）根据AB=4，AD=3，可得点A的坐标，过A作AE⊥x轴于E，根据△AOE∽△CAB，可得AE：OE：AO=3：4：5，再根据当t=2时，OA=2，OE=，AE=，BQ=2，可得点A和点Q的坐标；（2）分两种情况进行讨论：①当点Q在BC上时，②当点Q在CD上时，分别根据△ACQ的面积计算方法，求得S关于t的函数关系式，并根据点Q的位置写出t的取值范围；（3）先过A作AE⊥x轴于E，根据△AOE∽△CAB，得出AE：OE：AO=3：4：5，再根据OA=t，得出OE=t，AE=t，再分两种情况进行讨论：①当点Q在BC上时，连接OQ，②当点Q在CD上时，连接OQ，分别根据相似三角形的对应边成比例，列出关于t的比例式，求得t的值并检验即可．

试题解析： (1)如图所示，

∵AB=4，AD=3，

∴A(4,3)，AC=5，

过A作AE⊥x轴于E,则△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5，

当t=2时,OA=2,OE=85,AE=65，BQ=2，

∴A(,)，

∵OE+AB=,AE+BQ=，

∴Q(,)，

故答案为：(4，3)，(,)，(， )；

(2)①当点Q在BC上时,连接AQ,

∵BQ=t，BC=3，

∴CQ=3t，

∴△ACQ的面积=×CQ×AB，即S=×(3t)×4=2t+6(0t<3)；

②当点Q在CD上时，连接AQ，

∵QC+BC=t，BC=3，

∴CQ=t3，

∴△ACQ的面积=×CQ×AD,即S=×(t3)×3=t (3t7)；

∴S关于t的函数关系式为S=；

(3)如图所示,过A作AE⊥x轴于E,则△AOE∽△CAB，

∴AE:OE:AO=3:4:5,

∵OA=t，

∴OE=t,AE=t，

①当点Q在BC上时，连接OQ，

∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t，

∴当时,△OMQ∽△CDA，

此时，解得t=3；

当时，△OMQ∽△ADC，

此时， ，解得t=10>3,(舍去)；

②当点Q在CD上时，连接OQ，而DQ=3+4t=7t=EM，

∴OM=t+7t=7t，

∴当时,△OMQ∽△CDA，

此时， ，解得t=3；

当时,△OMQ∽△ADC，

此时， 解得t=>7，(舍去)

综上所述，当△QMO与△ACD相似时，t的值为3秒。