Question

【题目】已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC= OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接OA；

∵OC=BC，AC= OB，

∴OC=BC=AC=OA．

∴△ACO是等边三角形．

∴∠O=∠OCA=60°，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

又∠OCA为△ACB的外角，

∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，

∴∠B=30°，又∠OAC=60°，

∴∠OAB=90°，

∴AB是⊙O的切线

（2）解：作AE⊥CD于点E，

∵∠O=60°，

∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，

∴在Rt△ACE中，CE=AE= ；

∵∠D=30°，

∴AD=2 ，

∴DE= AE= ，

∴CD=DE+CE= + ．

【解析】（1）求证：AB是⊙O的切线，可以转化为证∠OAB=90°的问题来解决．本题应先说明△ACO是等边三角形，则∠O=60°；又AC= OB，进而可以得到OA=AC= OB，则可知∠B=30°，即可求出∠OAB=90°．（2）作AE⊥CD于点E，CD=DE+CE，因而就可以转化为求DE，CE的问题，根据勾股定理就可以得到．