Question

【题目】如图，△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G．

（1）求证：△ADC≌△FDB；

（2）求证：CE=BF；

（3）连结CG，判断△ECG的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析

【解析】

（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；

证明：（1）∵AB=BC，BE平分∠ABC，

∴BE⊥AC，CE=AE

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠DBF，

在△ADC和△FDB中，

，

∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）∵△ADC≌△FDB，

∴AC=BF，

又∵CE=AE，

∴CE=BF；

（3）△ECG为等腰直角三角形．

∵点H是BC边的中点，

∴GH垂直平分BC，

∴GC=GB，

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，

∵DB=DC，∠BDC=90°，

∴∠ECG=∠DCB=45°，

又∵BE⊥AC，

∴△ECG为等腰直角三角形；