Question

【题目】如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．
（1）填空：m的值为　　 ， 点A的坐标为；
（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；
（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；

Answer 1

【答案】
（1）

解: ∵抛物线y=（x+1）（x﹣3）经过点D（2，﹣），

∴m=，

把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣x﹣；

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）

解: 如图1所示；

（3）

解: 过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，

由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称，

∴MD=ME，

∵AH=3，DH=，

∴AD=2，

∴∠BAD=∠BAE=30°，

∴∠DAN=60°，

∴sin∠DAN=，

∴sin60°=，

∴DN=3，

∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值，

∴ME+MN的最小值为3；

【解析】（1）把点D坐标代入抛物线y=（x+1）（x﹣3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出点A，B坐标；
（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；
（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，此时DN的长度即为ME+MN的最小值；