Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE=6，CE=2，求线段CE、BE与劣弧BC所围成的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、.

【解析】

试题分析：(1)、连结OC，根据切线得出∠BAD=90°，然后得出△OCD和△OAD全等，从而得出∠OCD=∠OAD=90°，得出切线；(2)、设半径为r，则OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，根据Rt△OCE的勾股定理求出r的值，然后根据△COE的面积减去扇形BOC的面积得出答案.

试题解析：(1)、连结OC，如图， ∵AD为⊙O的切线，∴AD⊥AB，∴∠BAD=90°，

∵OD∥BC，∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∵OB=OC，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，

在△OCD和△OAD中，，∴△AOD≌△COD（SAS）； ∴∠OCD=∠OAD=90°，

∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

(2)、设半径为r，则OE=AE﹣OA=6﹣r，OC=r，在Rt△OCE中，∵OC2+CE2=OE2，

∴r2+（2）2=（6﹣r）2，解得r=2，∵tan∠COE===，∴∠COE=60°，

∴S阴影部分=S△COE﹣S扇形BOC=×2×2﹣=2﹣π．