Question

【题目】如图，已知Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝45°．

（1）（4分）用尺规作图，在CA的延长线上截取AD＝AB，并连接BD（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）（4分）求∠BDC的度数；

（3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即，根据定义，利用图形求cot22.5°的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5°；（3）．

【解析】

试题分析：（1）以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于D，然后连结BD；

（2）由AD=AB得∠ADB=∠ABD，然后利用三角形外角性质可求出∠ADB=22.5°；

（3）设AC=x，根据题意得△ACB为等腰直角三角形，则BC=AC=x，AB=，所以AD=AB=，CD=，在Rt△BCD中，根据余切的定义求解．

试题解析：（1）如图，

（2）∵AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，而∠BAC=∠ADB+∠ABD，∴∠ADB=∠BAC=×45°=22.5°，即∠BDC的度数为22.5°；

（3）设AC=x，∵∠C=90°，∠BAC=45°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴BC=AC=x，AB=AC=，∴AD=AB=，∴CD==，在Rt△BCD中，cot∠BDC===，即cot22.5°=．