Question

【题目】如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）试求何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．

Answer 1

【答案】（1）在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；（2）当t为 s或s 时，△PBQ为直角三角形；（3）在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ=120°．

【解析】试题分析：（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ=∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ=60°；

（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ=90°和∠BPQ=90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；

（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ=120°．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，

∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

∴AP=BQ，

在△APC和△BQA中，

∴△APC≌△BQA（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ=60°；

（2）∵运动时间为ts，则AP=BQ=t，

∴PB=4﹣t，

当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，

∴4﹣t=2t，解得t=，

当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2PB，

∴t=2（4﹣t），解得t=，

∴当t为 s或s 时，△PBQ为直角三角形；

（3）在等边三角形ABC中，AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°，

∴∠PBC=∠QCA=120°，且BP=CQ，

在△PBC和△QCA中，

∴△PBC≌△QCA（SAS），

∴∠BPC=∠MQC，

又∵∠PCB=∠MCQ，

∴∠CMQ=∠PBC=120°，

∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ的大小不变，∠CMQ=120°．